Question

【题目】已知椭圆 ，直线不过原点O且不平行于坐标轴， 与有两

个交点A、B，线段AB的中点为M.

（1）若，点K在椭圆上， 、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；

（2）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；

（3）若过点，射线OM与交于点P，四边形能否为平行四边形？

若能，求此时的斜率；若不能，说明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析(3) 当的斜率为或时，四边形为平行四边形

【解析】试题分析： 将代入，求出焦点坐标，设，给出的表达式，消元求出范围

联立直线方程和椭圆方程化简得到，求出， 的值，求出对应的直线斜率即可得到结论

四边形为平行四边形，当且仅当线段与线段互相平分，即，建立方程关系即可得到结论

解析：（1）椭圆，两个焦点、，设

所以

由于，所以，

由椭圆性质可知，所以

（2）设直线（），， ， ，

所以为方程的两根，化简得，

所以， .

，所以直线的斜率与的斜率的乘积等于为定值.

（3）∵直线过点，∴ 不过原点且与有两个交点的充要条件是， ．

设 设直线（），即.

由（2）的结论可知，代入椭圆方程得

由（2）的过程得中点，

若四边形为平行四边形，那么M也是OP的中点，所以，

得，解得

所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形．