【题目】如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是的中点.
(1)设P是上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;
(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析: (1)第(1)问,直接证明BE⊥平面ABP得到BE⊥BP,从而求出∠CBP的大小. (2)第(2)问,可以利用几何法求,也可以利用向量法求解.
试题解析:
(1)
因为AP⊥BE,AB⊥BE,AB,AP平面ABP,AB∩AP=A,所以BE⊥平面ABP.
又BP平面ABP,所以BE⊥BP.又∠EBC=120°,所以∠CBP=30°.
(2)方法一:如图,取的中点H,连接EH,GH,CH.
因为∠EBC=120°,所以四边形BEHC为菱形,
所以AE=GE=AC=GC=.
取AG的中点M,连接EM,CM,EC,
则EM⊥AG,CM⊥AG,
所以∠EMC为所求二面角的平面角.
又AM=1,所以EM=CM=.
在△BEC中,由于∠EBC=120°,
由余弦定理得EC2=22+22-2×2×2×cos 120°=12,
所以EC=2,所以△EMC为等边三角形,
故所求的角为60°.
方法二:
以B为坐标原点,分别以BE,BP,BA所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.
由题意得A(0,0,3),E(2,0,0),G(1, ,3),C(-1,
,0),
故=(2,0,-3),
=(1,
,0),
=(2,0,3).
设=(x1,y1,z1)是平面AEG的一个法向量,
由可得
取z1=2,可得平面AEG的一个法向量=(3,-
,2).
设=(x2,y2,z2)是平面ACG的一个法向量.
由可得
取z2=-2,可得平面ACG的一个法向量n=(3,- ,-2).
所以cos〈〉=
=
.
故所求的角为60°.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,分别过椭圆左、右焦点
的动直线
相交于
点,与椭圆
分别交于
与
不同四点,直线
的斜率
满足
.已知当
与
轴重合时,
,
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在定点,使得
为定值?若存在,求出
点坐标并求出此定值;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
,
和
.
【解析】试题分析:(1)当与
轴重合时,
垂直于
轴,得
,得
,
从而得椭圆的方程;(2)由题目分析如果存两定点,则
点的轨迹是椭圆或者双曲线 ,所以把
坐标化,可得
点的轨迹是椭圆,从而求得定点
和点
.
试题解析:当
与
轴重合时,
, 即
,所以
垂直于
轴,得
,
,, 得
,
椭圆
的方程为
.
焦点
坐标分别为
, 当直线
或
斜率不存在时,
点坐标为
或
;
当直线斜率存在时,设斜率分别为
, 设
由
, 得:
, 所以:
,
, 则:
. 同理:
, 因为
, 所以
, 即
, 由题意知
, 所以
, 设
,则
,即
,由当直线
或
斜率不存在时,
点坐标为
或
也满足此方程,所以点
在椭圆
上.存在点
和点
,使得
为定值,定值为
.
考点:圆锥曲线的定义,性质,方程.
【方法点晴】本题是对圆锥曲线的综合应用进行考查,第一问通过两个特殊位置,得到基本量,
,得
,
,从而得椭圆的方程,第二问由题目分析如果存两定点,则
点的轨迹是椭圆或者双曲线 ,本题的关键是从这个角度出发,把
坐标化,求得
点的轨迹方程是椭圆
,从而求得存在两定点
和点
.
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】已知,
,
.
(Ⅰ)若,求
的极值;
(Ⅱ)若函数的两个零点为
,记
,证明:
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校为了解学生一次考试后数学、物理两个科目的成绩情况,从中随机抽取了25位考生的成绩进行统计分析.25位考生的数学成绩已经统计在茎叶图中,物理成绩如下:
(Ⅰ)请根据数据在答题卡的茎叶图中完成物理成绩统计;
(Ⅱ)请根据数据在答题卡上完成数学成绩的频数分布表及数学成绩的频率分布直方图;
数学成绩分组 | [50,60﹚ | [60,70﹚ | [70,80﹚ | [80,90﹚ | [90,100﹚ | [100,110﹚ | [110,120] |
频数 |
(Ⅲ)设上述样本中第i位考生的数学、物理成绩分别为xi,yi(i=1,2,3,…,25).通过对样本数据进行初步处理发现:数学、物理成绩具有线性相关关系,得到:=86,
=64,
(xi-
)(yi-
)=4698,
(xi-
)2=5524,
≈0.85.求y关于x的线性回归方程,并据此预测当某考生的数学成绩为100分时,该考生的物理成绩(精确到1分).
附:回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:=
,
=
-
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某大学数学学院拟从往年的智慧队和理想队中选拔4名大学生组成志愿者招募宣传队.往年的智慧对和理想队的构成数据如下表所示,现要求选出的4名大学生中两队中的大学生都要有.
(1)求选出的4名大学生仅有1名女生的概率;
(2)记选出的4名大学生中女生的人数为,求随机变量
的分布列和数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某酱油厂对新品种酱油进行了定价,在各超市得到售价与销售量的数据如下表:
单价 | 5 | 5.2 | 5.4 | 5.6 | 5.8 | 6 |
销量 | 9.0 | 8.4 | 8.3 | 8.0 | 7.5 | 6.8 |
(1)求售价与销售量的回归直线方程;( ,
)
(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/瓶,为使工厂获得最大利润(利润=销售收入成本),该产品的单价应定为多少元?
相关公式:,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连结PE并延长交AB于点G.
(Ⅰ)证明:G是AB的中点;
(Ⅱ)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在上海高考改革方案中,要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理六门学科中选择三门参加等级考试,受各因素影响,小李同学决定选择物理,并在生物和地理中至少选择一门.
(1)小李同学共有多少种不同的选科方案?
(2)若小吴同学已确定选择生物和地理,求小吴同学与小李同学选科方案相同的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某市为了解本市万名学生的汉字书写水平,在全市范围内进行了汉字听写考试,发现其成绩服从正态分布
,现从某校随机抽取了
名学生,将所得成绩整理后,绘制出如图所示的频率分布直方图.
(1)估算该校名学生成绩的平均值
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)求这名学生成绩在
内的人数;
(3)现从该校名考生成绩在
的学生中随机抽取两人,该两人成绩排名(从高到低)在全市前
名的人数记为
,求
的分布列和数学期望.
参考数据:若,则
,
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