Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinωx，2cosωx），$\overrightarrow{b}$=（2cosωx，cosωx）（ω∈N^*），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+k，且f（x）图象中相邻两条对称轴间的距离不小于$\frac{π}{2}$．求f（x）的单调递减区间，若f（x）=0在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有解，求k的取值范围．

Answer 1

分析 利用向量数量积的坐标表示、二倍角公式及辅助角公式求得f（x）的解析式，根据周期公式及ω的取值范围，求得ω的值，求得f（x）的解析式，即可求得函数的单调递减区间，由f（x）=0，求得k=-1-2sin（2x+$\frac{π}{6}$），利用x的取值范围，即可求得k的取值范围．

解答 解：f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+k=$\sqrt{3}$sinωx•2cosωx+2cosωx•cosωx+k，
=2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+（2cos²ωx-1）+k+1，
=$\sqrt{3}$sin2ωx+cos2ωx+k+1，
=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+k+1，
由题意可知：T=$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{ω}$，
$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2ω}$≥$\frac{π}{2}$．解得：ω≤1，
∵ω∈N^*，
∴ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+k+1，
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
f（x）的单调递减区间[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z；
若f（x）=0，即2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+k+1=0，
k=-1-2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，
∴k∈[-3，0]，
∴k的取值范围[-3，0]．

点评 本题考查三角函数的恒等变形，平面向量的数量积运算，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的图象与性质，其中利用三角函数的恒等变换及平面向量的数量积运算法则把f（x）的解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键，属于中档题．