Question

16．${（{{x^3}+\frac{1}{{2\sqrt{x}}}}）^5}$的展开式中x⁸的系数为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 根据二项展开式定理的内容，先写出二项式的通项，使得变量x的指数等于8，解出r的值，把r的值代入通项得到这一项的系数．

解答 解：设出所求的项是第r+1项，
则T_r+1=C₅^rx^3（5-r）（$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）^r=（$\frac{1}{2}$）^rC₅^rx${\;}^{15-\frac{7}{2}r}$
要求x⁸的系数，只要使得15-$\frac{7}{2}$r=8，
得r=2，故在求二项式展开式里含x⁸项的系数为（$\frac{1}{2}$）²C₅²=$\frac{1}{4}×10$=$\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$

点评 本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．