Question

17．已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AD=DC=$\frac{1}{2}$AB=1，PM=$\frac{1}{2}$MB．
（I）证明：面PAD⊥面PCD；
（2）证明：PD∥平面MAC；
（3）求三棱锥P-AMC的体积．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：PA⊥CD，因为ABCD为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，所以CD⊥AD，再根据线面垂直的判定定理得到线面垂直进而得到面面垂直．
（2）通过找到两条直线平行，由线面平行的判断定理，即可找到结论；
（3）由锥体公式即可解得答案．

解答 （1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD?面ABCD∴PA⊥CD
又ABCD为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，
∴CD⊥AD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，又CD?面PCD，
∴面PAD⊥面PCD，
（2）证明：连接BD交AC于N，连接MN，
∵AB∥CD，
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{DN}{NB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{PM}{MB}=\frac{DN}{NB}$，MN∥PD，
又∵MN⊆平面MAC，PD∉平面MAC，
∴PD∥平面MAC；…（8分）
（3）解：${V_{P-MAC}}={V_{C-PMA}}=\frac{1}{3}×AD×{S_{△PAM}}=\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}×1×\frac{2}{3}=\frac{1}{9}$…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查学生对锥体体积公式的掌握，属于中档题．