Question

6．设数列{a_n}是公差不为0的等差数列，S_n为其前n项的和，满足：a₂²+a₃²=a₄²+a₅²，S₇=7．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项的和S_n；
（2）设数列{b_n}满足b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，其前n项的和为T_n，当n为何值时，有T_n＞512．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}是公差不为0的等差数列，可设a_n=a₁+（n-1）d，由：a₂²+a₃²=a₄²+a₅²，S₇=7．可得：$（{a}_{1}+d）^{2}$+$（{a}_{1}+2d）^{2}$=$（{a}_{1}+3d）^{2}$+$（{a}_{1}+4d）^{2}$，$7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}$d=7，d≠0，联立解出即可得出．
（2）b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2^2n-7，可得$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=4，b₁=2^-5=$\frac{1}{{2}^{5}}$．可得数列{b_n}是公比为4的等比数列，首项为$\frac{1}{{2}^{5}}$，利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）由数列{a_n}是公差不为0的等差数列，可设a_n=a₁+（n-1）d，
由a₂²+a₃²=a₄²+a₅²，S₇=7．可得：$（{a}_{1}+d）^{2}$+$（{a}_{1}+2d）^{2}$=$（{a}_{1}+3d）^{2}$+$（{a}_{1}+4d）^{2}$，
$7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}$d=7，d≠0，
联立解得a₁=-5，d=2．
∴a_n=-5+2（n-1）=2n-7．S_n=$\frac{n（-5+2n-7）}{2}$=n²-6n．
（2）b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2^2n-7，∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{2}^{2（n+1）-7}}{{2}^{2n-7}}$=4，b₁=2^-5=$\frac{1}{{2}^{5}}$．
∴数列{b_n}是公比为4的等比数列，首项为$\frac{1}{{2}^{5}}$，
∴T_n=$\frac{\frac{1}{{2}^{5}}（{4}^{n}-1）}{4-1}$=$\frac{1}{3×{2}^{5}}$（4ⁿ-1）．
由T_n＞512，可得：4ⁿ＞3×4⁷+1，∴n≥8时，有T_n＞512．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．