Question

14．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若数列{S_n}有唯一的最大项S₃，H_n=S₁+2S₂+3S₃+…+nS_n，则（　　）

• A． S₅•S₆＜0
• B． H₅•H₆＜0
• C． 数列{a_n}、{S_n}都是单调递减数列
• D． H₆可能是数列{H_n}最大项

Answer 1

分析 由等差数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{S_n}有唯一的最大项S₃，可得：公差d＜0，a₁＞0，a₁，a₂，a₃＞0，a₄＜0．
A．由S₅=5a₃＞0，S₆=3（a₃+a₄）与0的大小关系不确定，即可判断出正误；
B．H₅=S₁+2S₂+3S₃+4S₄+5S₅＞0，H₆=S₁+2S₂+3S₃+4S₄+5S₅+6S₆，由A可知：S₆=3（a₃+a₄）与0的大小关系不确定，即可判断出正误．
C．数列{a_n}是单调递减数列，而数列{S_n}在n≤3时单调递增，n≥4时单调递减．
D．由a₃+a₄与0的大小关系不确定即可判断出结论．

解答 解：∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{S_n}有唯一的最大项S₃，
∴公差d＜0，a₁＞0，a₁，a₂，a₃＞0，a₄＜0．
A．由S₅=$\frac{5（{a}_{1}+{a}_{5}）}{2}$=5a₃＞0，S₆=$\frac{6（{a}_{1}+{a}_{6}）}{2}$=3（a₃+a₄）与0的大小关系不确定，可知A不正确；
B．H₅=S₁+2S₂+3S₃+4S₄+5S₅＞0，H₆=S₁+2S₂+3S₃+4S₄+5S₅+6S₆，
由A可知：S₆=3（a₃+a₄）与0的大小关系不确定，H₅•H₆与0的大小关系也不确定，因此不正确．
C．数列{a_n}是单调递减数列，而数列{S_n}在n≤3时单调递增，n≥4时单调递减．
D．若a₃+a₄＞0，则S₆＞0，而S₇=$\frac{7（{a}_{1}+{a}_{7}）}{2}$=7a₄＜0，因此H₆有可能是数列{H_n}最大项．
故选：D．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及求和公式性质、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．