Question

4．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n=n•a_n-1，n=2，3，4，…．
（Ⅰ）计算a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（Ⅱ）根据计算结果，猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件通过n=2，3，4，5直接计算a₂，a₃，a₄，a₅的值，
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想的通{a_n}项公式，用数学归纳法的证明步骤直接证明即可．

解答 解：（Ⅰ）a₁=1，a_n=n•a_n-1，
可得n=2时，a₂=2；n=3时，a₃=6；
a₄=24，a₅=120
（Ⅱ）猜想 a_n=n!．
证明：①当n=1时，由已知，a₁=1!=1，猜想成立．
②假设当n=k（k∈N^*）时猜想成立，即a_k=k!．
则n=k+1时，a_k+1=（k+1）a_k=（k+1）k!=（k+1）!．
所以 当n=k+1时，猜想也成立．
根据 ①和 ②，可知猜想对于任何n∈N^*都成立

点评 本题考查数列递推关系式以及通项公式的应用，数学归纳法的证明方法的应用，考查计算能力与逻辑推理能力．