Question

12．我们知道，在△ABC中，若c²=a²+b²，则△ABC是直角三角形，现在请你研究，若cⁿ=aⁿ+bⁿ（n＞2），则△ABC（　　）

• A． 一定是锐角三角形
• B． 可能是直角三角形
• C． 一定是钝角三角形
• D． 可能是钝角三角形

Answer 1

分析 由已知的等式cⁿ=aⁿ+bⁿ，得到c为三角形的最大边，利用不等式的性质及作差的方法判断得到a²+b²＞c²，然后利用余弦定理表示出cosC，由得到的a²+b²＞c²，判断出cosC大于0，即C为锐角，根据三角形边角关系：大边对大角，得到三角形三内角都为锐角，从而得到三角形为锐角三角形．

解答 解：∵cⁿ=aⁿ+bⁿ，
∴c＞a，c＞b，即c为最大边，
∴c^n-2＞a^n-2，c^n-2＞b^n-2，
即c^n-2-a^n-2＞0，c^n-2-b^n-2＞0，
∴（a²+b²）c^n-2-cⁿ=（a²+b²）c^n-2-aⁿ-bⁿ=a²（c^n-2-a^n-2）+b²（c^n-2-b^n-2）＞0，
即（a²+b²）c^n-2＞cⁿ，
∴a²+b²＞c²，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞0，
则△ABC一定是锐角三角形，
故选：A．

点评 此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有三角形的边角关系，不等式的基本性质，余弦函数的图象与性质以及余弦定理，其中利用作差法判断出a²+b²＞c²是解本题的关键，属于中档题．