Question

11．如图，直线AB为⊙O的切线，切点为B，点C、D在圆上，DB=DC，作BE⊥BD交圆于点E
（1）证明：∠CBE=∠ABE；
（2）设⊙O的半径为2，BC=2$\sqrt{3}$，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．

Answer 1

分析 （1）构造辅助线DE，交BC于点G．由DB=DC，BE⊥BD，得出∠CBE=∠BCE，由弦切角定理，可以得知∠CBE=∠BCE，即可证得：∠CBE=∠ABE；
（2）由（1）可得DG是BC的中垂线，即可求得BG的长度．设DE的中点为O，连结BO，求得∠BOG=60°，可得CF⊥BF，即可求得Rt△BCF外接圆的半径．

解答 （1）证明：连结DE，交BC于点G．
∵BE⊥BD，∴DE是直径．
∵BE²=DE²-DB²，CE²=DE²-DC²，DB=DC，
∴BE=CE，
故∠CBE=∠BCE，
由弦切角定理得，∠ABE=∠BCE．
∴∠ABE=∠CBE．
（2）解：由（1）知，∠CDE=∠BDE，DB=DC，
故DG是BC的中垂线，
所以BG=$\sqrt{3}$．
设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG=60°．
从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°，
所以CF⊥BF，
故Rt△BCF外接圆的半径等于$\sqrt{3}$．

点评 本题考查弦切角定理和勾股定理，考查学生灵活转化问题的能力，属于中档题．