Question

20．已知函数f（x）=x³+18x+17sinx，若对任意的θ∈R，不等式f（asinθ+2）+f（1+2cos2θ）≥0恒成立，则a的取值范围是-1≤a≤1．

Answer 1

分析 通过求导数便可判断f（x）在R上单调递增，并且容易判断为奇函数，利用换元法并且借助于恒成立问题的解决方法得到答案．

解答 易知函数f（x）=x³+18x+17sinx为奇函数
∵f′（x）=3x²+18+17cosx＞0
∴f（x）单调递增．
∵f（asinθ+2）+f（1+2cos2θ）≥0恒成立
∴f（asinθ+2））≥-f（1+2cos2θ）
f（asinθ+2）≥f（-1-2cos2θ）
asinθ+2≥-1-2cos2θ恒成立
即 4sin²θ-asinθ-5≤0，
设t=sinθ，t∈[-1，1]；g（t）=4t²-at-5≤0，
g（-1）≤0且g（1）≤0
故答案为：-1≤a≤1

点评 本题考查函数单调性与奇偶性的综合，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．