Question

在某平面上，有4个村庄恰好坐落在边长为2 km的正方形顶点上，为此需要建立一个使得任何2个村庄都可有通道的道路网．请你合理设计一个道路网，使它的总长度不超过5.5 km(取＝1.414 2，＝1.732 1)．

Answer 1

答案：
解析：

解：设四个村庄分别为A、B、C、D． 　　(1)沿正方形四条边ABCDA修筑道路网，总长度为8 km，不合要求 　　(2)连结两条对角线可作通道，其总长是＞5.5，也不合要求 　　(3)由平面几何的知识知道，在正方形ABCD所在平面内任了取一点P(如图所示)，连结PA、PB、PC、PD所修建的道路网，当P点重合于O时，道路网最短，即PA＋PB＋PC＋PD≥AC＋BD＝ 　　(4)要减少总长度，就必须增加公共部分，注意应用正方形既有轴对称，又有中心对称的性质，在平面ABCD上取两点E、F，并通过中心O修一条公共道 路EF(如图所示)使EF⊥AD，OE＝OF＝x(0≤x≤1)，则道路网的总长度为y，且y＝2x＋． 　　因为y≤5.5，得2x＋≤5.5．化简，得48x2－40x＋7≤0，解得≤x≤． 　　此时，x∈［0，1］，据此可有无数种道路网设计方案满足要求． 　　分析：这是一道策略开放题，题目给出了实际问题的情景(条件)和基本要求(结论)，要求考生根据题意对一些常见的可能设计进行列举、计算、取舍，然后逐渐逼近题目的合理解法． 　　点评：根据方案(4)，我们可以算出y的最小值，即最佳设计方案． 　　由y＝2x＋ 　　得(y－2x)2＝()2 　　所以y2－4xy＋4x2＝16＋16－32x＋16x2 　　即12x2－2(8－y)x＋(32－y2)＝0 　　由△＝16(8－y)2－48(32－y2)≥0 　　得y2－4y－8≥0．又因为y＞0， 　　所以y≥2(1＋)，当y＝2(1＋)时，x＝． 　　即x＝时，ymin＝2(1＋)≈5.4642 km．