【题目】已知函数,其中.
(1)函数在处的切线与直线垂直,求实数的值;
(2)若函数在定义域上有两个极值点,且.
①求实数的取值范围;
②求证:.
【答案】(1)(2)①②证明见解析;
【解析】
(1)由函数导数求得切线斜率,利用两直线垂直斜率乘积为-1列方程求解即可;
(2)①函数在定义域上有两个极值点等价于在上有两个不相等的根.解不等式组即得解;
②先化简得到,再构造,其中.再利用导数证明,即得证.
(1)依题意,,,
故,所以,
据题意可知,,解得.
所以实数的值为2.
(2)①因为函数在定义域上有两个极值点,且,
所以在上有两个根,且,
即在上有两个不相等的根.
所以解得.
当时,若或,,,
函数在和上单调递增;
若,,,
函数在上单调递减,
故函数在上有两个极值点,且,.
所以,实数的取值范围是.
②由①可知,是方程的两个不等的实根,
所以其中..
故
,
令,其中.
故,
令,
,在上单调递增.
由于,,
所以存在常数,使得,即,,
且当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增,
所以当时,
,
又,,
所以,即,
故得证.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,右焦点到右准线的距离为3.(椭圆的右准线方程为)
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设过的直线与椭圆相交于两点.已知被圆截得的弦长为,求的面积.
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【题目】已知在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为为参数,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.
1求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
2设M是直线l上任意一点,过M做圆C切线,切点为A、B,求四边形AMBC面积的最小值.
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【题目】将四个编号为1,2,3,4的相同小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,
(1)若每个盒子放一个小球,求有多少种放法;
(2)若每个盒子放一球,求恰有1个盒子的号码与小球的号码相同的放法种数;
(3)求恰有一个空盒子的放法种数.
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【题目】已知点,直线为平面内的动点,过点作直线的垂线,垂足为点,且.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线与分别交轨迹于四点.求的取值范围.
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【题目】如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0),AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,点T(-1,1)在AD边所在直线上.求:
(1) AD边所在直线的方程;
(2) DC边所在直线的方程.
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在极坐标系中,O为极点,点在曲线上,直线l过点且与垂直,垂足为P.
(1)当时,求及l的极坐标方程;
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.
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【题目】近年来,共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活,并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众,某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统,以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计,车辆状况的优惠活动评价的列联表如下:
对优惠活动好评 | 对优惠活动不满意 | 合计 | |
对车辆状况好评 | |||
对车辆状况不满意 | |||
合计 |
(1)能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系?
(2)为了回馈用户,公司通过向用户随机派送每张面额为元,元,元的 三种骑行券.用户每次使用扫码用车后,都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券,获得元券的概率分别是,,且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车,记该用户当天获得的骑行券面额之和为,求随机变量的分布列和数学期望.
参考数据:
参考公式:,其中.
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【题目】在圆周上依次有个点,今随机地选取其中个点为顶点作凸边形,已知选取与否的可能性是相同的,试求对每个,边形的两个相邻顶点(规定)之间至少有中的个点的概率,其中,是给定的一组正整数.
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