Question

已知函数（），．
（Ⅰ）若，曲线在点处的切线与轴垂直，求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：；
（Ⅲ）若，试探究函数与的图象在其公共点处是否存在公切线，若存在，研究值的个数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）当时，函数与的图象在其公共点处不存在公切线；当时，函数与的图象在其公共点处存在公切线，且符合题意的值有且仅有两个

(I)当a=1时，根据建立关于b的方程，求出b值.
(II)由（I）得，定义域为，要证，
只须证，然后构造函数， 
利用导数研究其最小值，证明最小值大于零即可.
(III)本小题属于探索性问题，先假设函数与的图象在其公共点处存在公切线，则满足
，所以,即,从而求出,
然后再讨论是否大于零来确定假设是否成立.
解：（Ⅰ），，
∴，         --------------------------2分
依题意得 ，∴．         --------------------------3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为，
要证，只须证，
设，          -------------------4分
则，
令，得， ---------------------------6分
列表得

	递减	极小	递增

∴时，取极小值也是最小值，且，
∴，∴. --------------------8分
（Ⅲ）假设函数与的图象在其公共点处存在公切线，
∵，∴，
∵，，由得，，
即，∴，--------------9分
∵的定义域为，
当时，，∴函数与的图象在其公共点处不存在公切线；---10分
当时，令 ，∵，，
∴，即， ----------------11分
下面研究满足此等式的值的个数：
（方法一）由得 ，
设函数，，
令得，当时，递增；
当时，递减；
所以，，又时，，
时，，
所以，函数的图象与轴有且仅有两个交点，即符合题意的值有且仅有两个．
综上，当时，函数与的图象在其公共点处不存在公切线；
当时，函数与的图象在其公共点处存在公切线，
且符合题意的值有且仅有两个．-------------------------------14分
(方法二)设，则，且，方程化为，
分别画出和的图象，因为时，，
由函数图象性质可得和图象有且只有两个公共点（且均符合），
所以方程有且只有两个解．
综上，当时，函数与的图象在其公共点处不存在公切线；
当时，函数与的图象在其公共点处存在公切线，
且符合题意的值有且仅有两个．--------------------------------14分