Question

已知函数，在上的减函数.
(Ⅰ)求曲线在点（1,f（1））处的切线方程；
(Ⅱ)若在上恒成立，求的取值范围；
(Ⅲ)关于的方程()有两个根(无理数e=2.71828)，求m的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ)；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ）求出即得在点（1,f（1））处的切线方程.
（Ⅱ）在上恒成立，则.
利用导数求出的最大值，再解不等式即可得的取值范围.
（Ⅲ）方程可化为，即.
令,则问题转化为研究函数的图象与x轴交点个数，而这又可用导数解决.
试题解析：（Ⅰ）∵,∴,                 1分
∴,                             2分
∴在点（1, f（1））处的切线方程为，即；    3分
（Ⅱ）∵，∴,
在上单调递减，∴在上恒成立，         4分
∴在上恒成立，
                              5分
在上单调递减，∴
∵在上恒成立，
∴只需恒成立，                   6分
∴，
∵，∴，
∴；                          7分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知方程为，
设,则方程根的个数即为函数的图象与x轴交点个数 8分
∵,                      9分
当时，在上为增函数，
当时，
在和上为减函数，
在上为增函数,在上为减函数，
在的最大值为，               11分
又，，
方程有两根满足：，                    12分
即时，原方程有两解                   14分