【题目】在平面直角坐标系中,已知为坐标原点,点
的坐标为
,点
的坐标为
,其中
且
.设
.
()若
,
,
,求方程
在区间
内的解集.
()若函数
满足:图象关于点
对称,在
处取得最小值,试确定
、
和
应满足的与之等价的条件.
【答案】(1)解集为;(2)见解析.
【解析】分析:()由平面向量数量积公式、结合辅助角公式可得
,令
,从而可得结果;(
)“图象关于点
对称,且在
处
取得最小值”.因此,根据三角函数的图象特征可以知道,
,故有
,
∴,
,当且仅当
,
时,
的图象关于点
对称;此时
,
,对
讨论两种情况可得使得函数
满足“图象关于点
对称,且在
处
取得最小值的充要条件”是“
,
时,
,
;或当
时,
,
”.
详解:()根据题意
,
当,
,
时,
,
,
则有或
,
.
即或
,
.
又因为,故
在
内的解集为
.
()解:因为
,设周期
.
因为函数须满足“图象关于点
对称,且在
处
取得最小值”.
因此,根据三角函数的图象特征可以知道,,
故有,
∴,
,
又因为,形如的函数的图象的对称中心都是
的零点,
故需满足,而当
,
时,
因为,
;
所以当且仅当,
时,
的图象关于点
对称;
此时,,
∴,
.
(i)当,
时,
,进一步要使
处
取得最小值,
则有,
∴,故
,
.
又,则有
,
,
因此,由可得
,
.
(ii)当时,
,进一步要使
处
取得最小值,
则有;
又,则有
,
.
因此,由,可得
,
.
综上,使得函数满足“图象关于点
对称,且在
处
取得最小值的充要条件”是“
,
时,
,
;或当
时,
,
”.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某水产养殖基地要将一批海鲜用汽车从所在城市甲运至销售商所在城市乙,已知从城市甲到城市乙只有两条公路,且运费由水产养殖基地承担.若水产养殖基地恰能在约定日期(×月×日)将海鲜送达,则销售商一次性支付给水产养殖基地万元;若在约定日期前送到,每提前一天销售商将多支付给水产养殖基地
万元;若在约定日期后送到,每迟到一天销售商将少支付给水产养殖基地
万元.为保证海鲜新鲜度,汽车只能在约定日期的前两天出发,且只能选择其中的一条公路运送海鲜,已知下表内的信息:
汽车 行驶路线 | 不堵车的情况下到达城市乙所需时间(天) | 堵车的情况下到达城市乙所需时间(天) | 堵车的概率 | 运费(万元) |
公路 | ||||
公路 |
(注:毛利润销售商支付给水产养殖基地的费用
运费)
(Ⅰ)记汽车走公路时水产养殖基地获得的毛利润为
(单位:万元),求
的分布列和数学期望
.
(Ⅱ)假设你是水产养殖基地的决策者,你选择哪条公路运送海鲜有可能让水产养殖基地获得的毛利润更多?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在三棱锥中,已知
是正三角形,
平面
为
的中点,
在棱
上,且
.
(1)求三棱锥的体积;
(2)求证: 平面
;
(3)若为
中点,
在棱
上,且
,求证:
平面
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知是定义在
上的奇函数,且
为偶函数,对于函数
有下列几种描述:
①是周期函数; ②
是它的一条对称轴;
③是它图象的一个对称中心; ④当
时,它一定取最大值;
其中描述正确的是__________.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设是定义在
上的偶函数,
的图象与
的图象关于直线
对称,且当
时,
.
()求
的解析式.
()若
在
上为增函数,求
的取值范围.
()是否存在正整数
,使
的图象的最高点落在直线
上?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=2cos
,直线l的参数方程为
(t为参数),直线l与圆C交于A,B两点,P是圆C上不同于A,B的任意一点.
(1)求圆心的极坐标;
(2)求△PAB面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列,
满足
,数列
前
项和为
.
(1)若数列是首项为正数,公比为
的等比数列.
①求证:数列为等比数列;
②若对任意
恒成立,求
的值;
(2)已知为递增数列,即
.若对任意
,数列
中都存在一项
使得
,求证:数列
为等差数列.
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