【题目】已知数列,
满足
,数列
前
项和为
.
(1)若数列是首项为正数,公比为
的等比数列.
①求证:数列为等比数列;
②若对任意
恒成立,求
的值;
(2)已知为递增数列,即
.若对任意
,数列
中都存在一项
使得
,求证:数列
为等差数列.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知为坐标原点,点
的坐标为
,点
的坐标为
,其中
且
.设
.
()若
,
,
,求方程
在区间
内的解集.
()若函数
满足:图象关于点
对称,在
处取得最小值,试确定
、
和
应满足的与之等价的条件.
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【题目】提高过江大桥的车辆通行的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度(单位:千米/小时)是车流密度
(单位:辆/千米)
的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,就会造成堵塞,此时车流速度为0;当
车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明:当时,
车流速度是车流密度
的一次函数.
(1)当时,求函数
的表达式;
(2)如果车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数) (单位:辆/小时),那么当车流密度
为多大时,车流量
可以达到最大,并求出最大值.(精确到
辆/小时).
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【题目】已知动圆过点
,且与圆
相内切.
(I)求动圆的圆心的轨迹方程;
(II)设直线(其中
与(1)中所求轨迹交于不同两点
,D,与双曲线
交于不同两点
,问是否存在直线
,使得向量
,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.
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【题目】下列结论不正确的是________(填序号).
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥;
②以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥;
③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥;
④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线.
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【题目】某种“笼具”由内,外两层组成,无下底面,内层和外层分别是一个圆锥和圆柱,其中圆柱与圆锥的底面周长相等,圆柱有上底面,制作时需要将圆锥的顶端剪去,剪去部分和接头忽略不计,已知圆柱的底面周长为,高为
,圆锥的母线长为
.
(1)求这种“笼具”的体积;
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”,该材料的造价为每平方米8元,共需多少元?
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【题目】空气质量按照空气质量指数大小分为七档(五级),相对应空气质量的七个类别,指数越大,说明污染的情况越严重,对人体危害越大.
指数 | 级别 | 类别 | 户外活动建议 |
Ⅰ | 优 | 可正常活动 | |
Ⅱ | 良 | ||
Ⅲ | 轻微污染 | 易感人群症状有轻度加剧,健康人群出现刺激症状,心脏病和呼吸系统疾病患者应减少体积消耗和户外活动. | |
轻度污染 | |||
Ⅳ | 中度污染 | 心脏病和肺病患者症状显著加剧,运动耐受力降低,健康人群中普遍出现症状,老年人和心脏病、肺病患者应减少体力活动. | |
中度重污染 | |||
Ⅴ | 重污染 | 健康人运动耐受力降低,由明显强烈症状,提前出现某些疾病,老年人和病人应当留在室内,避免体力消耗,一般人群应尽量减少户外活动. |
现统计邵阳市市区2016年1月至11月连续60天的空气质量指数,制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求这60天中属轻度污染的天数;
(2)求这60天空气质量指数的平均值;
(3)将频率分布直方图中的五组从左到右依次命名为第一组,第二组,…,第五组.从第一组和第五组中的所有天数中抽出两天,记它们的空气质量指数分别为,
,求事件
的概率.
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【题目】如图,以等腰直角三角形斜边上的高
为折痕,把
与
折成互相垂直的两个平面后,有以下四个结论:
①;
②;
③三棱锥是正三棱锥;
④平面的法向量和平面
的法向量互相垂直.
其中正确结论的序号是________________(请把正确结论的序号都填上).
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【题目】已知向量,函数
的最小值为
.
(1)当时,求
的值;
(2)求;
(3)已知函数为定义在上的增函数,且对任意的
都满足
,问:是否存在这样的实数
,使不等式
对所有
恒成立,若存在,求出
的取值范围;若不存在,说明理由.
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