Question

3．若实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-2y≤0}\\{2x-y≥0}\\{x+y≥3}\end{array}\right.$，则下列不等成立的是（　　）

• A． x²+y²≥5
• B． $\frac{y}{x-2}$≥-2
• C． 2x+y≥5
• D． |x+3y-1|≥4

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，距离，斜率以及截距进行求解对应的范围即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
A．设z=x²+y²，则z的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方，
由图象知点O到直线x+y=3的距离最小，此时d=$\frac{|3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$＜5，
则A．x²+y²≥5不成立，
B.$\frac{y}{x-2}$的几何意义为区域内的点到点C（2，0）的斜率，
由图象知BC的斜率最小，此时k=$\frac{2}{1-2}$=-2，
则$\frac{y}{x-2}$≥-2成立，
但当x=2，y=1时，$\frac{y}{x-2}$无意义，则$\frac{y}{x-2}$≥-2不一定成立，
C．当x=1，y=2时，2x+y=2+2=4≥5不成立，
D．|x+3y-1|=$\sqrt{10}$•$\frac{|x+3y-1|}{\sqrt{10}}$，
设d=$\frac{|x+3y-1|}{\sqrt{10}}$，则|x+3y-1|=$\sqrt{10}$•d，
则d的几何意义是区域内的点到直线x+3y-1=0的距离，
由图象知A（2，1）到直线x+3y-1=0的距离最小，
此时d=$\frac{|2+3-1|}{\sqrt{10}}$=$\frac{4}{\sqrt{10}}$，
则|x+3y-1|=$\sqrt{10}$•d=$\sqrt{10}$•$\frac{4}{\sqrt{10}}$=4，
即|x+3y-1|≥4成立．
故选：D．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，将不等式转化为距离，斜率以及截距进行求解是解决本题的关键．