Question

9．已知数列{a_n}为等比数列，数列{b_n}为等差数列，且a₂a₃=a₅=32，b₂+b₃=b₅=5．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求和T_n=b₁S₁+b₂S₂+…+b_nS_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）设等比数列{a_n}的公比为q，等差数列{b_n}的公差为d，
∵a₂•a₃=a₅=32，b₂+b₃=b₅=5．
∴${a}_{1}^{2}$q³=${a}_{1}{q}^{4}$=32，2b₁+3d=b₁+4d=5，
解得：a₁=q=2，b₁=d=1．
∴a_n=2ⁿ，b_n=1+（n-1）=n．
（II）S_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2ⁿ⁺¹-2．
∴b_nS_n=n•2ⁿ⁺¹-2n．
设数列{n•2ⁿ⁺¹}的前n项和为A_n．
∴A_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
∴2A_n=2³+2×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²，
∴-A_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺²=（1-n）•2ⁿ⁺²-4，
∴A_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4，
∴和T_n=b₁S₁+b₂S₂+…+b_nS_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4-$\frac{n（2n+2）}{2}$
=（n-1）•2ⁿ⁺²+4-n²-n．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．