Question

4．已知直线l：x-2y+8=0和两点A（-2，8），B（-2，-4），若直线l上存在点P使得||PA|-|PB||最大，求点P的坐标以及||PA|-|PB||的最大值．

Answer 1

分析 作点A关于直线l的对称点A′，作直线BA′交l于P点，此时||PB|-|PA||最大，则点P为所求点．

解答 解：设点A关于直线x-2y+8=0的对称点A′（m，n），利用斜率成积为-1，和中点在线上得到解得A′（2，0）
||PA|-|PB||≤|B A′|当且仅当B、A′、P三点共线取得等号．
所以当P是直线x-y-2=0与x-2y+8=0的交点时
||PA|-|PB||最大．联立两条直线可得点P的坐标为（12，10），|BA′|=4$\sqrt{2}$
||PA|-|PB||≤|BA′|=4$\sqrt{2}$，故||PA|-|PB||最大值为4$\sqrt{2}$，点P的坐标为（12，10）．

点评 本题考查的是最短线路问题，解答此类题目的关键是根据轴对称的性质画出图形，再由两点之间线段最短的知识求解．