Question

15．已知函数f（x）=|x-2|-|x+1|．
（1）解不等式f（x）＞1．
（2）当x＞0时，函数g（x）=$\frac{a{x}^{2}-x+1}{x}$（a＞0）的最小值总大于函数f（x），试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，去掉绝对值，求得原绝对值不等式的解集．
（2）由条件利用基本不等式求得$g{（x）_{min}}=2\sqrt{a}-1$，f（x）∈[-3，1），再由$2\sqrt{a}-1≥1$，求得a的范围．

解答 （1）解：当x＞2时，原不等式可化为x-2-x-1＞1，此时不成立；
当-1≤x≤2时，原不等式可化为2-x-x-1＞1，即-1≤x＜0，
当x＜-1时，原不等式可化为2-x+x+1＞1，即x＜-1，
综上，原不等式的解集是{x|x＜0}．
（2）解：因为当x＞0时，$g（x）=ax+\frac{1}{x}-1≥2\sqrt{a}-1$，当且仅当$x=\frac{{\sqrt{a}}}{a}$时“=”成立，
所以$g{（x）_{min}}=2\sqrt{a}-1$，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-2x，0＜x≤2\\-3，x＞2\end{array}\right.$，所以f（x）∈[-3，1），
∴$2\sqrt{a}-1≥1$，即a≥1为所求．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，求函数的值域，属于中档题．