Question

19．己知圆C的方程为x²+y²-2x-4y+1=0
（I）过点M（3，1）作圆C的切线．求切线方程
（II）点A、B均在圆C上运动，O为坐标原点．求cos∠AOB的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设过点M（3，1）的切线为kx-y-3k+1=0，圆心C（1，2）到切线的距离为半径，由此能求出切线方程．
（Ⅱ）当OA与OB都与圆相切时，∠AOB最大，cos∠AOB取最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵圆C的方程为x²+y²-2x-4y+1=0，
∴圆心C（1，2），半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{4+16-4}$=2，
设过点M（3，1）的切线为y-1=k（x-3），即kx-y-3k+1=0，
圆心C（1，2）到切线的距离d=$\frac{|k-2-3k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
解得k=$\frac{3}{4}$，∴切线方程为$\frac{3}{4}$x-y-$\frac{9}{4}$+1=0，即3x+4y-5=0．
当切线斜率不存在时，直线为x=3，也成立，
∴切线方程为3x+4y-5=0或x=3．
（Ⅱ）∵当0＜θ＜π时，cosθ随θ增大而减小，
∴当OA与OB都与圆相切时，∠AOB最大，cos∠AOB取最小值．
如图，设A（x，y），OA的方程为：y=kx，则y₀=kx₀，
∵OA与圆相切，∴OA⊥AC，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（{x}_{0}-1）^{2}+（k{x}_{0}-2）^{2}=4}\\{{x}_{0}（1-{x}_{0}）+k{x}_{0}（2-k{x}_{0}）=0}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{4}{3}$，${x}_{0}=-\frac{3}{5}$，y₀=$\frac{4}{5}$，
此时，tan∠AOB=k=-$\frac{4}{3}$，cos$∠AOB=-\frac{3}{5}$．
∴cos∠AOB的最小值为-$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查圆的切线方程的求法，考查角的余弦值的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线距离公式的合理运用．