Question

9．已知函数f（x）=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）+3．
（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；
（2）若α为第二象限角，且f（2α-π）=3+2$\sqrt{2}$，求$\frac{cosαcos2α}{1+cos2α+sin2α}$的值．

Answer 1

分析 （1）用五点法作函数f（x）在一个周期上的简图．
（2）由f（2α-π）=3+2$\sqrt{2}$，可得：sin（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，解得：sinα-cosα=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，利用α为第二象限角，由二倍角公式化简所求后即可计算求值．

解答 解：（1）列表：

$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{2}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{3π}{2}$	$\frac{5π}{2}$	$\frac{7π}{2}$
y	3	6	3	0	3

作图：

（2）∵f（2α-π）=3+2$\sqrt{2}$，f（x）=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）+3．
∴3sin（α-$\frac{π}{4}$）+3=3+2$\sqrt{2}$，可得：sin（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，解得：sinα-cosα=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∵α为第二象限角，sinα＞0，cosα＜0，可得：cosα-sinα=-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴$\frac{cosαcos2α}{1+cos2α+sin2α}$=$\frac{cosα（co{s}^{2}α-si{n}^{2}α）}{2co{s}^{2}α+2sinαcosα}$=$\frac{（cosα-sinα）（cosα+sinα）}{2cosα+2sinα}$=$\frac{cosα-sinα}{2}$=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题主要考查用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图，考查了二倍角公式，两角差的正弦函数公式在三角函数求值中的应用，属于中档题．