Question

17．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角，|$\overrightarrow{b}$|=2，当t=$\frac{1}{2}$时，|$\overrightarrow{b}$-t$\overrightarrow{a}$|取最小值为$\sqrt{3}$，则|$\overrightarrow{a}$|=2．

Answer 1

分析 根据题意，画出图形，结合图形得出|$\overrightarrow{b}$-t$\overrightarrow{a}$|取最小值时（$\overrightarrow{b}$-t$\overrightarrow{a}$）⊥$\overrightarrow{a}$，从而求出|$\overrightarrow{a}$|的值．

解答 解：如图所示，非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角，
|$\overrightarrow{b}$|=2，当t=$\frac{1}{2}$时，|$\overrightarrow{b}$-t$\overrightarrow{a}$|取最小值为$\sqrt{3}$，
此时（$\overrightarrow{b}$-t$\overrightarrow{a}$）⊥$\overrightarrow{a}$，且C是OA的中点，
所以|$\overrightarrow{a}$|=2|OC|=2$\sqrt{{2}^{2}{-（\sqrt{3}）}^{2}}$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了平面向量的线性运算与几何意义的应用问题，是基础题目．