Question

本小题满分13分）
已知圆，△ABC内接于此圆，A点的坐标(3,4)，O为坐标原点．
(Ⅰ)若△ABC的重心是G(,2),求BC中点D的坐标及直线BC的方程；
(Ⅱ)若直线AB与直线AC的倾斜角互补，求证：直线BC的斜率为定值.

Answer 1

(Ⅰ) x+y-2=0．  (Ⅱ)。

试题分析：（1）要求三角形顶点的坐标，可先将它们的坐标设出来，根据重心的性质，我们不难求出BC边上中点D的坐标，及BC所在直线的斜率，代入直线的点斜式方程即可求出答案．
（2）若直线AB与直线AC的倾斜角互补，则他们的斜率互为相反数，又由他们都经过A点，则可以设出他们的点斜式方程，代入圆方程后，求出BC两点的坐标，代入斜率公式，即可求证出正确的结论。
解：(Ⅰ)设B(x₁,y₁),C(x₂,y₂) 由题意可得：
 
,  ∴ BC中点的坐标为（1,1）,
又B、C在已知圆上 ，故有：
   
相减得：
∴
∴直线BC的方程为y-1=-(x-1)，即x+y-2=0． …………………………6分
(Ⅱ)设AB：y=k(x-3)+4，代入圆的方程整理得：

∵3，x₁是上述方程的两根

同理可得：

．       ……………13
点评：解决该试题的关键是根据三角形重心的坐标是三角形三个顶点坐标的平均数，由重心坐标及任意两顶点的坐标，构造方程易求第三个顶点的坐标；已知三个顶点的坐标，代入重心坐标公式，即得重心坐标；如果已知重心坐标和其中一个顶点的坐标，则我们只能求出该顶点对边上中点的坐标．