Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=2，向量

a

=sin（A-B），1），

b

=（1，sinB-sinC），且

a

⊥

b

（1）求角A；
（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由两向量的坐标，利用两向量垂直时满足的条件列出关系式，整理后求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）利用余弦定理表示出cosA，将cosA的值代入，整理后利用基本不等式求出bc的最大值，即可确定出三角形ABC面积的最大值．

解答： 解：（1）∵

a

=（sin（A-B），1），

b

=（1，sinB-sinC），且

a

⊥

b

，
∴sin（A-B）×1+（sinB-sinC）×1=0，
化简得：sinAcosB-cosAsinB+sinB-sinAcosB-cosAsinB=0，即sinB=2cosAsinB，
∵sinB≠0，∴cosA=

1

2

，
又0°＜A＜180°，
∴A=60°；
（2）由余弦定理得cosA=cos60°=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∴b²+c²-4=bc≥2bc-4，即bc≤4，当b=c时取等号，
∴S=

1

2

bcsin60°=

3

4

bc≤

3

4

×4=

3

，
则当b=c时面积有最大值

3

．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．