Question

（1）经计算发现：

7

+

15

＜2

11

，

5.5

+

16.5

＜2

11

，

3- 3

+

19+ 3

＜2

11

，
试写出一个使

a

+

b

≤2

11

成立的正实数a，b满足的条件，并给出证明；
（2）若不等式

a

+

b

+

c

+

d

≤m

a+b+c+d

对任意的正实数a，b，c，d恒成立，
求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：柯西不等式在函数极值中的应用

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（1）使

a

+

b

≤2

11

成立的正实数a，b满足的条件是a+b=22，利用基本不等式进行证明；
（2）由柯西不等式，求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）使

a

+

b

≤2

11

成立的正实数a，b满足的条件是a+b=22
证明：∵2(a+b)=a+b+a+b≥a+b+2

ab

=(

a

+

b

)2，
∴

a

+

b

≤

2(a+b)

=2

11

；…（5分）
（Ⅱ）由柯西不等式得(1+1+1+1)(a+b+c+d)≥(

a

+

b

+

c

+

d

)2
即(

a

+

b

+

c

+

d

)≤

(1+1+1+1)(a+b+c+d)

=2

a+b+c+d

即

a + b + c + d

a+b+c+d

≤2，当且仅当a=b=c=d取等号
因不等式

a

+

b

+

c

+

d

≤m

a+b+c+d

对任意的正实数a，b，c，d恒成立，
即m≥

a + b + c + d

a+b+c+d

对任意的正实数a，b，c，d恒成立，故m≥2．…（10分）

点评：本题考查基本不等式的运用，考查柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．