Question

16．如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为AD的中点．
（1）求证：平面PCM⊥平面PAD；
（2）求三棱锥D-PAC的高．

Answer 1

分析 （1）由题意可知△ACD，△PAD是等边三角形，故而PM⊥AD，CM⊥AD，于是AD⊥平面PCM，所以平面PCM⊥平面PAD；
（2）分别以△ACD和△PAC为棱锥的底面求出棱锥的体积，利用体积相等列出方程解出底面PAC上的高．

解答 证明：（1）∵PA=PD，M是AD的中点，
∴PM⊥AD．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ACD是正三角形，
∴CM⊥AD，
又PM?平面PCM，CM?平面PCM，PM∩CM=M，
∴AD⊥平面PCM，∵AD?平面PAD，
∴平面PCM⊥平面PAD．
（2）∵△ACD，△PAD是边长为2的正三角形，∴PM=CM=$\sqrt{3}$．
∴V_P-ACD=$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•PM$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\sqrt{3}=1$．
∵AC=2，PA=2，PC=$\sqrt{P{M}^{2}+C{M}^{2}}=\sqrt{6}$，
∴cos∠PAC=$\frac{P{A}^{2}+A{C}^{2}-P{C}^{2}}{2PA•AC}$=$\frac{1}{4}$．∴sin∠PAC=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
∴S_△APC=$\frac{1}{2}PA•AC•sin∠PAC$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$．
设三棱锥D-PAC的高为h，
则V_D-PAC=$\frac{1}{3}{S}_{△PAC}•h$=V_P-ACD．
∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{2}×h$=1．
解得h=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．