Question

5．已知数列{a_n}满足a₁=1，na_n+1=2（n+1）a_n（n∈N．）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）在第（2）问的条件下，若不等式（-1）ⁿλ（4-S_n）≤1对任意的n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}满足a₁=1，na_n+1=2（n+1）a_n（n∈N．）变形为$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}=2•\frac{{a}_{n}}{n}$，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{（n+2）•{2}^{n+1}}{n•{2}^{n-1}•（n+1）•{2}^{n}}$=4$（\frac{1}{n•{2}^{n-1}}-\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}）$，利用“裂项求和”即可得出．
（3）不等式（-1）ⁿλ（4-S_n）≤1，化为：（-1）ⁿλ≤$\frac{（n+1）×{2}^{n}}{4}$．对n分类讨论即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足a₁=1，na_n+1=2（n+1）a_n（n∈N），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}=2•\frac{{a}_{n}}{n}$，
∴数列$\{\frac{{a}_{n}}{n}\}$是等比数列，首项为1，公比为2．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=2^n-1．
∴a_n=n•2^n-1．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{（n+2）•{2}^{n+1}}{n•{2}^{n-1}•（n+1）•{2}^{n}}$=4$（\frac{1}{n•{2}^{n-1}}-\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}）$，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=4$[（1-\frac{1}{2×2}）+（\frac{1}{2×2}-\frac{1}{3×{2}^{2}}）$+…+$（\frac{1}{n•{2}^{n-1}}-\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}）]$
=4$（1-\frac{1}{（n+1）×{2}^{n}}）$．
（3）不等式（-1）ⁿλ（4-S_n）≤1，化为：（-1）ⁿλ$\frac{4}{（n+1）×{2}^{n}}$≤1．
∴（-1）ⁿλ≤$\frac{（n+1）×{2}^{n}}{4}$．
不等式（-1）ⁿλ（4-S_n）≤1对任意的n∈N^*恒成立，
当n=2k（k∈N^*）时，化为λ≤$\frac{（2k+1）×{2}^{2k}}{4}$的最小值，∴λ≤3．
当n=2k-1（k∈N^*）时，化为λ≥-$\frac{2k×{2}^{2k-1}}{4}$的最大值，∴λ≥-1．
综上可得：-1≤λ≤3．
∴λ的取值范围是[-1，3]．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、递推关系、“裂项求和”方法、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．