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设f(x)为定义域为R的函数,对任意x∈R,都满足:f(x+1)=f(x-1),f(1-x)=f(1+x),且当x∈[0,1]时,f(x)=3x-3-x
(1)请指出f(x)在区间[-1,1]上的奇偶性、单调区间、最大(小)值和零点,并运用相关定义证明你关于单调区间的结论;
(2)试证明f(x)是周期函数,并求其在区间[2k-1,2k](k∈Z)上的解析式.
分析:(1)f(x+1)=f(x-1),f(1-x)=f(1+x)?f(x-1)=f(1-x),从而可得函数为偶函数,且关于x=1对称,当x∈[0,1]时,f(x)=3x-3-x在x∈[0,1]时,单调递增,从而可得函数单调递增区间:[0,1];单调递减区间:[-1,0];零点:x=0;单调区间的证明的证明可以利用定义证明可先证明在[0,1]上单调性,要证明f(x)在区间[-1,0]上是递减函数时,
(法一):利用定义法,任取的x1,x2∈[-1,0],x1<x2,通过判断判定 f(x1)-f(x2)的符号来判定f(x1)与f(x2)大小,进而判定函数的单调性
(法二):根据偶函数的性质可知,偶函数在对称区间上的单调性相反,由于f(x)在[0,1]上单调递增,故可证函数在[-1,0]上单调递减
(2)由f(x+2)=f[(1+x)+1]=f[(1+x)-1]=f(x)可得2是f(x)周期,当x∈[2k-1,2k]时,2k-x∈[0,1],代入可得f(x)=f(-x)=f(2k-x)=32k-x-3x-2k
解答:解:(1)偶函数;.(1分)  最大值为
8
3
、最小值为0;..(1分)
单调递增区间:[0,1];单调递减区间:[-1,0];(1分)
零点:x=0.(1分)
单调区间证明:
当x∈[0,1]时,f(x)=3x-3-x
设x1,x2∈[0,1],x1<x2f(x1)-f(x2)=(3x1-3x2)+(
3x1-3x2
3x13x2
)
=(3x1-3x2)(1+
1
3x13x2
)

证明f(x)在区间[0,1]上是递增函数
由于函数y=3x是单调递增函数,且3x>0恒成立,
所以3x1-3x2<01+
1
3x13x2
>0
,∴f(x1)-f(x2)<0
所以,f(x)在区间[0,1]上是增函数.(4分)
证明f(x)在区间[-1,0]上是递减函数
【证法一】因为f(x)在区间[-1,1]上是偶函数.
对于任取的x1,x2∈[-1,0],x1<x2,有-x1>-x2>0f(x1)-f(x2)=f(-x1)-f(-x2)>0
所以,f(x)在区间[-1,0]上是减函数(4分)
【证法二】设x∈[-1,0],由f(x)在区间[-1,1]上是偶函数,得f(x)=f(-x)=3-x-3x
以下用定义证明f(x)在区间[-1,0]上是递减函数..(4分)
(2)设x∈R,f(x+2)=f[(1+x)+1]=f[(1+x)-1]=f(x),
所以,2是f(x)周期.(4分)
当x∈[2k-1,2k]时,2k-x∈[0,1],
所以f(x)=f(-x)=f(2k-x)=32k-x-3x-2k..(4分)
点评:本题是一道综合了函数的对称性、周期性、奇偶性、单调性、及函数解析式的求解等知识的综合应用的试题,要求考生熟练掌握基础知识,并能运用知识解决综合问题的逻辑推理的能力.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•湖北模拟)设f(x)为定义域为R的奇函数,且f(x+2)=-f(x),那么下列五个判断(  )
(1)f(x)的一个周期为T=4
(2)f(x)的图象关于直线x=1对称
(3)f(2010)=0
(4)f(2011)=0
(5)f(2012)=0
其中正确的个数有(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

设f(x)的定义域为D,f(x)满足下面两个条件,则称f(x)为闭函数.
①f(x)在D内是单调函数;
②存在[a,b]⊆D,f(x)在[a,b]上的值域为[a,b].
如果f(x)=
2x+1
+k
为闭函数,那么k的取值范围是
-1<k≤-
1
2
-1<k≤-
1
2

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科目:高中数学 来源: 题型:单选题

设f(x)为定义域为R的奇函数,且f(x+2)=-f(x),那么下列五个判断
(1)f(x)的一个周期为T=4
(2)f(x)的图象关于直线x=1对称
(3)f(2010)=0
(4)f(2011)=0
(5)f(2012)=0
其中正确的个数有


  1. A.
    2个
  2. B.
    3个
  3. C.
    4个
  4. D.
    5个

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科目:高中数学 来源:湖北省模拟题 题型:单选题

设f(x)为定义域为R的奇函数,且f(x+2)=﹣f(x),那么下列五个判断
(1)f(x)的一个周期为T=4
(2)f(x)的图象关于直线x=1对称
(3)f(2010)=0
(4)f(2011)=0
(5)f(2012)=0其中正确的个数有
[     ]
A.2个  
B.3个  
C.4个  
D.5个

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