Question

12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-3x，x≤0}\\{{e}^{x}+{e}^{2}，x＞0}\end{array}\right.$，若不等式f（x）≥kx，对x∈R恒成立，则实数k的取值范围是-3≤k≤e²．

Answer 1

分析 根据分段函数的表达式，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．

解答 解：当x=0时，不等式f（x）≥kx等价为0≥0成立，
当x＜0时，由f（x）≥kx得2x²-3x≥kx，即2x-3≤k，
当x＜0，2x-3＜-3，则k≥-3；
当x＞0时，由f（x）≥kx得e^x+e²≥kx，$\frac{{e}^{x}+{e}^{2}}{x}$≥k，
设h（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{2}}{x}$，当x＞0时，h′（x）=$\frac{x{e}^{x}-{e}^{x}-{e}^{2}}{{x}^{2}}$，
设g（x）=xe^x-e^x-e²，则g′（x）=xe^x，
当x＞0时，g′（x）＞0，即函数g（x）为增函数，
∵g（2）=2e²-e²-e²=0，
∴当x＞2时，g（x）＞0，h′（x）＞0，函数h（x）为增函数，
当0＜x＜2时，g（x）＜0，h′（x）＜0，函数h（x）为减函数，
即当x=2时，函数h（x）取得极小值，同时也是最小值h（2）=$\frac{{e}^{2}+{e}^{2}}{2}$=e²，
此时k≤e²，
综上-3≤k≤e²，
故答案为：-3≤k≤e²．

点评 本题主要考查函数恒成立问题，利用参数分离法，构造函数求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．综合性较强．