Question

16．求证：sin[nπ+（-1）ⁿ•$\frac{π}{6}$]=cos[2nπ+（-1）ⁿ•$\frac{π}{3}$]（n∈Z）

Answer 1

分析 分n为奇数和偶数分别求出等式两边的值得答案．

解答 证明：当n为奇数时，左边=sin[nπ+（-1）ⁿ•$\frac{π}{6}$]=sin（nπ-$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{π}{6}=\frac{1}{2}$，
右边=cos[2nπ+（-1）ⁿ•$\frac{π}{3}$]=cos（-$\frac{π}{3}$）=cos$\frac{π}{3}=\frac{1}{2}$，左边=右边；
当n为偶数时，左边=sin[nπ+（-1）ⁿ•$\frac{π}{6}$]=sin$\frac{π}{6}=\frac{1}{2}$，
右边=cos[2nπ+（-1）ⁿ•$\frac{π}{3}$]=cos$\frac{π}{3}=\frac{1}{2}$，左边=右边．
综上，sin[nπ+（-1）ⁿ•$\frac{π}{6}$]=cos[2nπ+（-1）ⁿ•$\frac{π}{3}$]（n∈Z）．

点评 本题考查三角恒等式的证明，考查了诱导公式的应用，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．