Question

8．已知|$\overline{a}$|=4，|$\overline{b}$|=5，（3$\overline{a}$-$\overline{b}$）⊥（$\overline{a}$+2$\overline{b}$），则$\overline{a}$与$\overline{b}$的夹角的余弦值是-$\frac{1}{50}$．

Answer 1

分析 根据向量垂直得出数量积为0，列出方程解出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，代入夹角公式计算．

解答 解：∵（3$\overline{a}$-$\overline{b}$）⊥（$\overline{a}$+2$\overline{b}$），∴（3$\overline{a}$-$\overline{b}$）•（$\overline{a}$+2$\overline{b}$）=0，即3${\overrightarrow{a}}^{2}$+5$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-2${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
∴48+5$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-50=0，解得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{2}{5}$．
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=-$\frac{1}{50}$．
故答案为-$\frac{1}{50}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，向量垂直与数量积的关系，属于基础题．