Question

1．某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加A、B、C三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选．若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数，则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛．当某选手三项测试均未通过，则被淘汰．现已知甲选手通过项目A、B、C测试的概率为分别为$\frac{1}{5}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{3}$，且通过各次测试的事件相互独立．
（Ⅰ）若甲选手先测试A项目，再测试B项目，后测试C项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由．
（Ⅱ）若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p₁，第二项能通过的概率为p₂，第三项能通过的概率为p₃，设他结束测试时已参加测试的次数记为ξ，求ξ的分布列和期望（用p₁、p₂、p₃表示）；并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意，先求出甲选手不能通过海选的概率，从而得到甲选手能通过海选的概率，无论按什么顺序，其能通过海选的概率均为$\frac{3}{5}$．
（Ⅱ）依题意ξ的所有可能取值为1、2、3．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和期望（用p₁、p₂、p₃表示），并能求出甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛．

解答 解：（Ⅰ）依题意，甲选手不能通过海选的概率为（1-$\frac{1}{5}$）（1-$\frac{1}{3}$）（ 1-$\frac{1}{4}$），
故甲选手能通过海选的概率为1-（1-$\frac{1}{5}$）（1-$\frac{1}{3}$）（ 1-$\frac{1}{4}$）=$\frac{3}{5}$．…..（3分）
若改变测试顺序对他通过海选的概率没有影响，
因为无论按什么顺序，其不能通过的概率均为（1-$\frac{1}{5}$）（1-$\frac{1}{3}$）（ 1-$\frac{1}{4}$）=$\frac{2}{5}$，
即无论按什么顺序，其能通过海选的概率均为$\frac{3}{5}$．…..（5分）
（Ⅱ）依题意ξ的所有可能取值为1、2、3．
p（ξ=1）=p₁，
p（ξ=2）=（1-p₁） p₂，
p（ξ=3）=（1-p₁）（1-p₂）．
故ξ的分布列为：

ξ	1	2	3
P	p1	（1-p1） p2	（1-p1）（1-p2）

…．（8分）
Eξ=p₁+2（1-p₁） p₂+3（1-p₁）（1-p₂）…（10分）
分别计算当甲选手按C→B→A，C→A→B，B→A→C，B→C→A，A→B→C，A→C→B，
得甲选手按C→B→A参加测试时，Eξ最小，
∵参加测试的次数少的选手优先进入正赛，故该选手选择将自己的优势项目放在前面，
即按C→B→A参加测试更有利于进入正赛．…．（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．