Question

9．椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为$F（\sqrt{3}，0）$，点F到短轴的一个端点的距离等于焦距．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C与曲线|y|=kx（k＞0）的交点为A，B，求△OAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得c，再由a=2c，及a，b，c的关系，可得a，b的值，即可得到椭圆的方程；
（Ⅱ）设点A（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），则y₀=kx₀，代入椭圆方程求得A的坐标，再由三角形的面积公式，结合基本不等式可得最大值．

解答 解：（Ⅰ）由右焦点为$F（\sqrt{3}，0）$，得$c=\sqrt{3}$，
由点F到短轴的一个端点的距离等于焦距，得a=2c，
即$a=2\sqrt{3}$
则b²=a²-c²=9
所以椭圆C的方程为$\frac{{x_{\;}^2}}{12}+\frac{{y_{\;}^2}}{9}=1$；
（Ⅱ）设点A（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），则y₀=kx₀，
设AB交x轴于点D，由对称性知：${S_{△OAB}}=2{S_{△OAD}}=2×\frac{1}{2}{x_0}{y_0}=kx_0^2$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y_0}=k{x_0}\\ \frac{x_0^2}{12}+\frac{y_0^2}{9}=1\end{array}\right.$得得$x_0^2=\frac{36}{{3+4{k^2}}}$，
所以${S_{△OAB}}=k\frac{36}{{3+4{k^2}}}=\frac{36}{{\frac{3}{k}+4k}}≤\frac{36}{{2\sqrt{\frac{3}{k}•4k}}}=3\sqrt{3}$，
当且仅当$\frac{3}{k}=4k$，$k=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$时取等号，
所以△OAB面积的最大值$3\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意椭圆的性质和a，b，c的关系，考查椭圆的对称性和直线与椭圆方程联立，求得交点，考查运算能力，属于中档题．