Question

19．设直线nx+（n+1）y=$\sqrt{2}$（n∈N^*）与两坐标轴围城的三角形的面积为S_n，则S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₆的值为$\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 先化为截距式方程，分别求出直线与两坐标轴的交点，根据三角的面积公式得到S_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，即可求出答案．

解答 解：∵直线nx+（n+1）y=$\sqrt{2}$，
∴y=-$\frac{n}{n+1}$x+$\frac{\sqrt{2}}{n+1}$，
∴直线与两坐标轴的交点为（0，$\frac{\sqrt{2}}{n+1}$），（$\frac{\sqrt{2}}{n}$，0），
∴S_n=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{n+1}$×$\frac{\sqrt{2}}{n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₆=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$=1-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$
故答案为：$\frac{2016}{2017}$

点评 本题主要考查数列的求和方法：裂项相消法．要求会求一次函数与两坐标轴的交点坐标；熟悉三角形的面积公式；记住：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$（n为自然数）是解题的关键．