Question

8．已知函数f（x）=ax³+bx（x∈R），g（x）=f（x）+3x-x²-3，t（x）=$\frac{c}{{x}^{2}}$+lnx
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点x=3处的切线与直线24x-y+1=0平行，且函数f（x）在x=1处取得极值，求函数f（x）的解析式，并确定f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，如果对于任意的x₁，x₂∈[$\frac{1}{3}$，2]，都有x₁•t（x₁）≥g（x₂）成立，试求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得函数的导数，求得切线的斜率和两直线平行的条件，可得f′（3）=27a+b=24，且f′（1）=3a+b=0，解方程可得a，b，令导数小于0，可得减区间；
（Ⅱ）求出g（x）的导数，求得单调区间和极值、最值，依题意，只需当$x∈[{\frac{1}{3}，2}]$时，xt（x）≥1恒成立，即 $\frac{c}{x}+xlnx≥1$恒成立，亦即c≥x-x²lnx；令$h（x）=x-{x^2}lnx（x∈[{\frac{1}{3}，2}]）$，求出导数，求得单调区间和最大值，即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=ax³+bx的导数f′（x）=3ax²+b，
又函数f（x）的图象在点x=3处的切线与直线24x-y+1=0平行，
且函数f（x）在x=1处取得极值，可得f′（3）=27a+b=24，
且f′（1）=3a+b=0，
解得a=1，b=-3，
即有f（x）=x³-3x（x∈R）；
令f′（x）=3x²-3≤0得：-1≤x≤1，
所以函数的单调递减区间为[-1，1]；
（Ⅱ）g′（x）=3x²-2x=3x（x-$\frac{2}{3}$），$x∈[{\frac{1}{3}，2}]$，
 可见，当x∈[$\frac{2}{3}$，2]时，g′（x）≥0，g（x）在区间[$\frac{2}{3}$，2]单调递增，
当x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$]时，g'（x）≤0，g（x）在区间[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$]单调递减，
而g（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{83}{27}$＜g（2）=1，所以，g（x）在区间$[{\frac{1}{3}，2}]$上的最大值是1．
依题意，只需当$x∈[{\frac{1}{3}，2}]$时，xt（x）≥1恒成立，
即 $\frac{c}{x}+xlnx≥1$恒成立，亦即c≥x-x²lnx；
令$h（x）=x-{x^2}lnx（x∈[{\frac{1}{3}，2}]）$，
则h'（x）=1-x-2xlnx，显然h'（1）=0，
当$x∈[{\frac{1}{3}，1}）$时，1-x＞0，xlnx＜0，h′（x）＞0，
即h（x）在区间[$\frac{1}{3}$，1]上单调递增；
当x∈（1，2]时，1-x＜0，xlnx＞0，h'（x）＜0，（1，2]上单调递减；
所以，当x=1时，函数h（x）取得最大值h（1）=1，
故c≥1，即实数c的取值范围是[1，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造法，求得最值，考查运算能力，属于中档题．