Question

3．已知函数f（x）=x³+bx（x∈R）在[-1，1]上是减函数，则b的取值范围是（-∞，-3]．

Answer 1

分析 求导数f′（x）=3x²+b，根据题意便有f′（x）≤0在[-1，1]上恒成立，从而得到b≤-3x²在[-1，1]上恒成立，容易求出函数y=-3x²在[-1，1]上的最小值，从而便可得出b的取值范围．

解答 解：f′（x）=3x²+b；
f（x）在[-1，1]上是减函数；
∴f′（x）≤0在[-1，1]上恒成立；
∴3x²+b≤0，即b≤-3x²在[-1，1]上恒成立；
y=-3x²在[-1，1]上的最小值为-3；
∴b≤-3；
∴b的取值范围为（-∞，-3]．
故答案为：（-∞，-3]．

点评 考查函数导数符号和函数单调性的关系，以及二次函数在闭区间上的最值的求法．