Question

15．圆O中，弦$AB=2，AC=\sqrt{7}$，则$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$的值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 过点O作OD⊥BC交BC于点D，连接AD．则D为BC的中点，$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{BC}=0$．$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}）$．又$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DO}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，即可得出．

解答 解如图所示，过点O作OD⊥BC交BC于点D，连接AD．
则D为BC的中点，$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{BC}=0$．$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}）$．又$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DO}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$=$（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DO}）•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}）•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\frac{1}{2}（{\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2}）$
=$\frac{1}{2}（（\sqrt{7}）^{2}-{2}^{2}）=\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了三角形外心性质、向量是三角形法则、平行四边形法则、数量积运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．