Question

12．设数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，且a₁=3，a₂+a₃=36．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}对任意的正整数n都有$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{{b}_{3}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=2n+1，求b₁+b₂+b₃+…+b₂₀₁₅的值．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q＞0，由于a₁=3，a₂+a₃=36．根据等比数列的通项公式即可得出a_n．
（2）由于数列{b_n}对任意的正整数n都有$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{{b}_{3}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=2n+1，当n=1时，$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$=3，解得b₁．当n≥2时，可得$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=2，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q＞0，∵a₁=3，a₂+a₃=36．
∴3（q+q²）=36，解得q=3．
∴a_n=3ⁿ．
（2）∵数列{b_n}对任意的正整数n都有$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{{b}_{3}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=2n+1，
∴当n=1时，$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$=3，解得b₁=9．
当n≥2时，$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{{b}_{3}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{{a}_{n-1}}$=2n-1，
∴$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=2，∴b_n=2a_n=2×3ⁿ．
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{9，n=1}\\{2×{3}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$．
∴b₁+b₂+b₃+…+b₂₀₁₅=9+2（3²+3³+…+3²⁰¹⁵）
=3+$\frac{2×3（{3}^{2015}-1）}{3-1}$
=3²⁰¹⁶．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．