Question

10．在△ABC中，若a²-b²=$\sqrt{3}$bc，且$\frac{sin（A+B）}{sinB}$=2$\sqrt{3}$，则角A=（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可得c=2$\sqrt{3}$b，结合a²-b²=$\sqrt{3}$bc，可得a²=7b²，由余弦定理可求cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合范围A∈（0，π），即可求得A的值．

解答 解：∵在△ABC中，$\frac{sin（A+B）}{sinB}$=$\frac{sinC}{sinB}$=2$\sqrt{3}$，由正弦定理可得：$\frac{c}{b}=\frac{sinC}{sinB}$=2$\sqrt{3}$，即：c=2$\sqrt{3}$b，
∵a²-b²=$\sqrt{3}$bc，
∴a²-b²=$\sqrt{3}$b×2$\sqrt{3}b$，解得：a²=7b²，
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+12{b}^{2}-7{b}^{2}}{2b×2\sqrt{3}b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{6}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．