Question

在△ABC中，已知

sin2A+sin2B-sin2C

sin2A-sin2B+sin2C

=

1+cos2C

1+cos2B

，求△ABC的形状．

Answer 1

分析：根据正弦定理和二倍角的余弦公式，化简已知等式得到

cos C

cos B

(

b

c

-

cosC

cosB

)=0，再分别讨论等式

cos C

cos B

=0和等式

b

c

-

cosC

cosB

=0，结合特殊角的三角函数值和三角恒等变换化简，即可得到△ABC为等腰三角形或直角三角形．

解答：解：∵

sin2A+sin2B-sin2C

sin2A-sin2B+sin2C

=

1+cos2C

1+cos2B

，
∴根据正弦定理与二倍角的余弦公式，得

a2+b2-c2

a2-b2+c2

=

cos2C

cos2B

∵a²+b²-c²=2abcosC，a²-b²+c²=2accosB，
∴代入，化简得

cos C

cos B

(

b

c

-

cosC

cosB

)=0，即

cos C

cos B

=0或

b

c

-

cosC

cosB

=0
①当

cos C

cos B

=0时，cosC=0得C=90°
②当

b

c

-

cosC

cosB

=0时，根据正弦定理得

sinB

sinC

-

cosC

cosB

=0
化简得sinBcosB=sinCcosC，即sin2B=sin2C
∴B=C或B+C=90°，三角形为等腰或直角三角形
综上所述，△ABC为等腰三角形或直角三角形．

点评：本题给出三角形的边角关系式，判断三角形的形状．着重考查了正余弦定理解三角形、三角恒等变换和三角形形状的判断等知识，属于中档题．