Question

在△ABC中，已知

AB

•

AC

=9，sinB=cosAsinC，S△ABC=6，P为线段AB上的一点，且

CP

=x•

CA

| CA |

+y•

CB

| CB |

，则

1

x

+

1

y

的最小值为

7

12

+

3

3

．

Answer 1

分析：设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求 C=90°，再由

AB

•

AC

=9，S_△ABC=6，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得

CP

=λ

CA

+(1-λ)

CB

=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1），设出单位向量

CA

| CA |

=

e1

，    

CB

| CB |

=

e2

，

e1

=(1，0)，

e2

=(0，1)推出x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，而利用

1

x

+

1

y

 利用基本不等式求解最小值．

解答：解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b
∵sinB=cosA•sinC∴sin（A+C）=sinCcosnA
即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA
∴sinAcosC=0∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°
∵

AB

•

AC

=9，S_△ABC=6
∴bccosA=9，

1

2

bcsinA=6
∴tanA=

4

3

，根据直角三角形可得sinA=

4

5

，cosA=

3

5

，bc=15
∴c=5，b=3，a=4
以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）
P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得

CP

=λ

CA

+(1-λ)

CB

=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1）
设

CA

| CA |

=

e1

，    

CB

| CB |

=

e2

，则|

e1

|=|

e2

|=1，

e1

=(1，0)，

e2

=(0，1)
由

CP

=x•

CA

| CA |

+y•

CB

| CB |

=（x，0）+（0，y）=（x，y）∴x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12

1

x

+

1

y

=

1

12

(

1

x

+

1

y

) (4x+3y)=

1

12

（7+

3y

x

+

4x

y

）≥

7

12

+

3

3

故所求的最小值为

7

12

+

3

3

．
故答案为：

7

12

+

3

3

．

点评：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的向量关系，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4-4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值．