Question

【题目】在竖直坐标平面中，从坐标原点出发以同一初速度和不同的发射角（即发射方向与轴正向之间的夹角）射出的质点（不计质点的大小），在重力（设重力加速度为）的作用下运动轨迹是抛物线，所有这些抛物线组成一个抛物线族（即抛物线的集合）.若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直，则称这个交点为正交点.证明：此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧，并求出这个椭圆弧的方程（包括变量的取值范围），再画出它的草图.注. 抛物线在其上的点处的切线的斜率为.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

如图，设在时刻时质点坐标为，

时质点在坐标原点.由物理学公式得

由①得 ，代入②得

，

亦即 . ③

这就是以为发射角的质点的运动轨迹方程.

另外，由，知，与同号.

由题注知，抛物线③在点处的切线的斜率为

.

设正交点为，两条抛物线所对应的发射角分别为和，则由“正交点”的定义得

.

又因为在这两条抛物线上，故

. ⑤

显然原点是“正交点”，这只须取即可.故下面设.由⑤得

<> .

把上式代入④得

，

即 . ⑥

又由⑤知，和是下列一元二次方程（设为未知元）

⑦

的两个根，故由根与系数的关系得

. ⑧

把⑧代入⑥得

，

，

即 . ⑨

另外，由（因为）知⑦应有两个不同的实根，从而⑦的判别式应大于零，即

，

亦即 . ⑩

又由⑨得 ，所以，⑩变为

，

，

即 .

但由⑨得，这样由知，只能有

.

综合⑨和知，所有“正交点“的集合是下列方程所表示的曲线：

.

它所表示的曲线如下图所示，即椭圆上除去上顶点以外，却都可以成为“正交点”.