Question

【题目】已知函数，其中为常数.

若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值；

若对，都有，求的取值范围.

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）求出切点坐标，写出切线方程，利用切线在两坐标轴上的截距相等，求得a即可．

（2）对a分类讨论，易判断当或当时，在区间内是单调的，根据单调性得出结论，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减， 故，又因为，成立.而的最大值为，将最大值构造新函数，通过导函数的符号判断函数的单调性求解函数的最值，然后求解结果．

求导得，所以.

又，所以曲线在处的切线方程为.

由切线在两坐标轴上的截距相等，得，解得即为所求.

对，，所以在区间内单调递减.

①当时，，所以在区间内单调递减，故，由恒成立，得，这与矛盾，故舍去.

②当时，，所以在区间内单调递增，故，即，由恒成立得，结合得.

③当时，因为，，且在区间上单调递减，结合零点存在定理可知，存在唯一，使得，且在区间内单调递增，在区间内单调递减.

故，由恒成立知，，，所以.

又的最大值为，由得，

所以.

设，则，所以在区间内单调递增，于是，即.所以不等式恒成立.

综上所述，所求的取值范围是.