Question

【题目】某公司销售甲、乙两种产品，根据市场调查和预测，甲产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图所示；乙产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系式如图所示．

（1）分别将甲、乙两种产品的利润表示为投资额的函数；

（2）若该公司投资万元资金，并全部用于甲、乙两种产品的营销，问：怎样分配这万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少？

Answer 1

【答案】（1）甲产品的利润函数为；乙产品的利润函数为；（2）详见解析．

【解析】

（1）由题意设、，分别代入点的坐标即可得解；

（2）设乙产品的投资金额为万元，则甲产品的投资金额为万元，由题意列出总利润的函数，换元后利用二次函数的图象与性质分类讨论即可得解.

（1）由题意设甲产品的利润函数为，乙产品的利润函数为．

由函数经过点，则即，所以；

函数经过点，则即，所以；

（2）设乙产品的投资金额为万元，则甲产品的投资金额为万元，

所获得总利润为万元，

则，，

令，则，

，

该函数图象开口向下，对称轴为，

所以当即时，函数在上单调递增，

当即时，有最大值；

当即时，函数在上递增，在上递减，

当即时，有最大值．

综上可知，当时，乙产品投资万元，甲产品不作投资，该公司可获得最大利润，最大利润为万元；

当时，乙产品投资万元，甲产品投资万元，该公司可获得最大利润，最大利润为万元．