【题目】已知椭圆的焦距为
,且经过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)A是椭圆与y轴正半轴的交点,椭圆上是否存在两点M,N,使得△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请说明有几个,并求出直线MN;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)存在,有3个.
【解析】
试题先用待定系数法求出椭圆方程,因为,直角边AM,AN不可能垂直或平行于
轴,设
的斜率为
,则
的斜率为
,写出
的直线方程,分别与椭圆方程联立,解出
点的坐标,同理把
,写出
点的坐标,求出
,由
,列出方程求出
值.
试题解析:(Ⅰ)由题解得
,
.所以椭圆Ω的方程为
.
(Ⅱ)由题意可知,直角边AM,AN不可能垂直或平行于轴,故可设AM所在直线的方程为
,不妨设
,则直线AM所在的方程为
.
联立方程消去
整理得
,解得
,将
代入
可得
,故点
.
所以.
同理可得,由
,得
,
所以,则
,解得
或
.
当AM斜率时,AN斜率
;当AM斜率
时,AN斜率
;当AM斜率
时,AN斜率
.
综上所述,符合条件的三角形有个.
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【题目】我们国家正处于老龄化社会中,老有所依也是政府的民生工程.某市共有户籍人口400万,其中老人(年龄60岁及以上)人数约有66万,为了了解老人们的健康状况,政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估,健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级,并以80岁为界限分成两个群体进行统计,样本分布被制作成如下图表:
(1)若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况,则两个群体中各应抽取多少人?
(2)估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比;
(3)据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入,政府计划为这部分老人每月发放生活补贴,标准如下:
①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元;
②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元;
③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元.
利用样本估计总体,试估计政府执行此计划的年度预算.(单位:亿元,结果保留两位小数)
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【题目】某公司销售甲、乙两种产品,根据市场调查和预测,甲产品的利润(万元)与投资额
(万元)成正比,其关系如图所示;乙产品的利润
(万元)与投资额
(万元)的算术平方根成正比,其关系式如图所示.
(1)分别将甲、乙两种产品的利润表示为投资额的函数;
(2)若该公司投资万元资金,并全部用于甲、乙两种产品的营销,问:怎样分配这
万元投资,才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少?
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【题目】设,
分别为双曲线
的左、右焦点,
为双曲线的左顶点,以
,
为直径的圆交双曲线某条渐近线于
,
两点,且满足
,则该双曲线的离心率为________.
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【题目】数列中,
在直线
.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令,数列
的前n项和为
.
(ⅰ)求;
(ⅱ)是否存在整数λ,使得不等式(-1)nλ<
(n∈N
)恒成立?若存在,求出λ的取值的集合;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知四棱锥的底面为平行四边形,且
,
,
分别为
中点,过
作平面
分别与线段
相交于点
.
(Ⅰ)在图中作出平面使面
‖
(不要求证明);
(II)若,在(Ⅰ)的条件下求多面体
的体积.
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