Question

【题目】已知函数，(其中是自然对数的底数)，

（1）求函数的单调区间；

（2）记

①当时，试判断的导函数的零点个数；

②求证：时，

Answer 1

【答案】(1) 的单调减区间为，的单调增区间为.

（2）①存在唯一零点,②证明见解析.

【解析】

（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）①，当时， 在上单调递增，又，可证明存在满足且时，，从而可得结论；②由①知，可设在上存在唯一零点为，，即，，

将，代入上式，利用基本不等式可得结论.

（1），其定义域为，

由，令得，

令得，

∴的单调减区间为，的单调增区间为

（2）①解：由

∴，

当时，在上单调递增，在上单调递增.

∴在上单调递增.

又

假设存在满足且时，

∴当时在上存在唯一零点.

②由①知，可设在上存在唯一零点为，

∴，即

两边取自然对数得，，

又当时，，在上是减函数；

时，，在上是增函数，

∴，

将，代入上式得，

当且仅当时等号成立.所以当时，