Question

【题目】已知函数f（x）=ax﹣lnx，a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈（0，e]时，求g（x）=e2x﹣lnx的最小值；
（3）当x∈（0，e]时，证明：e2x﹣lnx﹣ ＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=ax﹣lnx，a∈R，

∴ ．

①当a≤0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；

②当a＞0时，令f'（x）＞0，得 ，令f'（x）＜0，得 ，

∴f（x）在 上单调递减，在 上单调递增．

综上，当a≤0时，f（x）的单调递减区间是（0，+∞），无单调递增区间；

当a＞0时，f（x）的单调递减区间是 ，单调递增区间是

（2）解：∵g（x）=e2x﹣lnx，则 ，

令g′（x）=0，得 ，当 时，g′（x）＜0，

当 时，g′（x）＞0，g

∴当 时，g（x）取得最小值，

（3）解：证明：令 ，则 ，令φ'（x）=0，得x=e．

当0＜x≤e时，φ'（x）≥0，h（x）在（0，e]上单调递增，

∴ ，

所以 ，

【解析】（1）求出 ，由a≤0和a＞0两种情况分类讨论，利用导数性质能求出f（x）的单调区间．（2）由g（x）=e2x﹣lnx，得 ，由此利用导性质能求出g（x）的最小值．（3）令 ，则 ，令φ'（x）=0，得x=e，由此利用导数性质能证明e2x﹣lnx﹣ ＞ ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．