【题目】已知,函数,,若函数有4个零点,则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
画出函数的图像,对分成,等种情况,研究零点个数,由此求得的取值范围.
令,画出函数的图像如下图所示,由图可知,
(1)当或时,存在唯一,使,而至多有两个根,不符合题意.
(2)当时,由解得,由化简得,其判别式为正数,有两个不相等的实数根;由化简得,其判别式为正数,有两个不相等的实数根.由于上述四个实数根互不相等,故时,符合题意.
(3)当时,由解得,由化简得,其判别式为负数,没有实数根;由化简得,其判别式为正数,有两个不相等的实数根.故当时,不符合题意.
(4)当时,由,根据图像可知有三个解,不妨设.
即
即.
i)当时,,故①②③三个方程都分别有个解,共有个解,不符合题意.
ii)当时,,①有个解,②③分别有个解,共有个解,不符合题意.
iii)当时,,①无解,②③分别有个解,共有个解,符合题意.
iv)当时,,①无解,②有个解,③有两个解,共有个解,不符合题意.
v)当时,,①无解,②无解,③至多有个解,不符合题意.
综上所述,的取值范围是.
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求和的直角坐标方程;
(2)已知直线与轴交于点,且与曲线交于两点,求的值.
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【题目】在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是,曲线的参数方程为:(为参数).
(1)求曲线,的直角坐标方程;
(2)设曲线,交于点,,已知点,求.
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【题目】已知命题:关于的不等式无解;命题:指数函数是上的增函数.
(1)若命题为真命题,求实数的取值范围;
(2)若满足为假命题且为真命题的实数取值范围是集合,集合,且,求实数的取值范围.
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【题目】袋中装有9只球,其中标有数字1,2,3,4的小球各2个,标数字5的小球有1个.从袋中任取3个小球,每个小球被取出的可能性都相等,用表示取出的3个小球上的最大数字.
(1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率;
(2)求随机变量的分布列和期望.
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【题目】在四棱锥A-BCDE中,平面BCDE,底面BCDE为直角梯形,、,,F为AC上一点,且.
(1)求证:平面ADE;
(2)求异面直线AB、DE所成角的余弦值.
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